Résolvez les systèmes d'équations suivants et détaillez les étapes de vos calculs y compris la validation de vos solutions. 21 + 12 = 5 et 1 - 1 = 1 x        y

Bonsoir,

[tex]\left\{\begin{matrix}\dfrac{21}{x}+\dfrac{12}{y}=5\\\\\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{42}\end{matrix}\right.[/tex]

Conditions : x ≠ 0 ; y ≠ 0

Posons  [tex]X=\dfrac{1}{x}\ \ et\ \ Y=\dfrac{1}{y}[/tex]

Le système peut alors s'écrire : [tex]\left\{\begin{matrix}21X+12Y=5\\\\Y-X=\dfrac{1}{42}\end{matrix}\right.[/tex]


[tex]\left\{\begin{matrix}21X+12Y=5\\42Y-42X=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}21X+12Y=5\\-42X+42Y=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}42X+24Y=10\\-42X+42Y=1\end{matrix}\right.[/tex]

Additionnons les deux équations entre elles.

[tex](42X+24Y)+(-42X+42Y)=10+1\\42X+24Y-42X+42Y=11\\66Y=11\\\\Y=\dfrac{11}{66}\\\\\boxed{Y=\dfrac{1}{6}}[/tex]

Dans l'équation Y - X = 1/42, remplaçons Y par 1/6.

[tex]\dfrac{1}{6}-X=\dfrac{1}{42}\\\\-X=\dfrac{1}{42}-\dfrac{1}{6}\\\\-X=\dfrac{1}{42}-\dfrac{7}{42}\\\\-X=-\dfrac{6}{42}\\\\X=\dfrac{6}{42}\\\\\boxed{X=\dfrac{1}{7}}[/tex]

Donc  [tex]X=\dfrac{1}{7}\ \ et\ \ Y=\dfrac{1}{6}[/tex]

Or   [tex]X=\dfrac{1}{x}\ \ et\ \ Y=\dfrac{1}{y}[/tex]

D'où :  [tex]\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{7}\Longrightarrow \boxed{x=7}\\\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\Longrightarrow \boxed{y=6}[/tex]

Ces valeurs de x vérifient bien les conditions x ≠ 0 ; y ≠ 0.

Par conséquent, les solutions du système sont : x = 7 et y = 6