bonjour, je voudrais savoir si c'est possible de résoudre ce problème sans passer par la trigonométrie et passant que par les calculs vectoriels et les produits

Réponse : Bonsoir,

Soit H le projeté orthogonal de B sur [AC].

Alors la distance du rivage au jeu-ski, est la distance BH.

D'après une formule du produit scalaire:

[tex]\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}[/tex].

Or [tex]\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=AC \times AH[/tex].

D'autre part:

[tex]\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=AC \times AB \cos(\widehat{CAB})[/tex].

On a donc:

[tex]AC \times AH=AC \times AB \times \cos(\widehat{CAB})\\\Leftrightarrow AH=AB \times \cos(33)[/tex]

Dans le triangle BHA rectangle en H, on a:

[tex]\displaystyle \tan(\widehat{CAB})=\frac{BH}{AH}\\ BH=AH \times tan(33)\\BH=AB \times \cos(33) \times \tan(33)=AB \times \sin(33)[/tex]

Comme AC=700, on en déduit que [tex]HC=AC-AH=700-AB \times \cos(33)[/tex].

Dans le triangle BHC rectangle en H, on a:

[tex]\displaystyle \tan(\widehat{ACB})=\frac{BH}{HC}\\BH=HC \times \tan(49)=(700-AB \times \cos(33)) \times \tan(49)[/tex]

On a donc:

[tex]\displaystyle AB \times \sin(33)=(700-AB \times \cos(33)) \times \tan(49)\\AB \times \sin(33)+ AB \times \cos(33) \times \tan(49)=700 \times \tan(49)\\AB(\sin(33)+\cos(33) \times \tan(49))=700 \times \tan(49)\\AB=\frac{700 \times \tan(49)}{\sin(33)+\cos(33) \times \tan(49)}[/tex]

On peut donc déduite BH:

[tex]\displaystyle BH=AB \times \sin(33)\\BH=\frac{700 \times \tan(49) \times \sin(33)}{\sin(33)+\cos(33) \times \tan(49)} \approx 291[/tex]

Le jet-ski est donc à environ 291 mètres du rivage, il est donc dans la zone de baignade, donc le jet-ski n'est pas en infraction.