On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs de ce polygone. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de diago
Mathématiques
Snapi
Question
On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs de ce polygone. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de diagonales dans un polygone.
1) Soit n un entier tel que n > et = 3 . Expliquer pourquoi n ( n-3) / 2 sera toujours un nombre entier.
2) Si on appelle n le nombre de côtés, vérifier que la formule n (n-3) / 2
donne le nombre de diagonales pour un quadrilatère, pour un pentagone ( faire des figures )
3) Proposer une explication qui permette de généraliser la formule n (n-3) / 2 à n'importe quel polygone à n côtés.
1) Soit n un entier tel que n > et = 3 . Expliquer pourquoi n ( n-3) / 2 sera toujours un nombre entier.
2) Si on appelle n le nombre de côtés, vérifier que la formule n (n-3) / 2
donne le nombre de diagonales pour un quadrilatère, pour un pentagone ( faire des figures )
3) Proposer une explication qui permette de généraliser la formule n (n-3) / 2 à n'importe quel polygone à n côtés.
1 Réponse
-
1. Réponse Anonyme
1) Soit n un entier tel que n > et = 3 . Expliquer pourquoi n ( n-3) / 2 sera toujours un nombre entier.
si n est pair alors n=2k donc n(n-3)/2=k(n-3) est entier
si n est impair alors n=2k+3 donc n(n-3)/2=kn est entier
2) Si on appelle n le nombre de côtés, vérifier que la formule n (n-3) / 2
donne le nombre de diagonales pour un quadrilatère, pour un pentagone ( faire des figures )
si n=3 le triangle a 0 diagonale
si n=4 le carré a 2 diagonales
si n=5 le pentagone a 5 diagonales
si n=6 l'hexagone a 9 diagonales
... etc
3) Proposer une explication qui permette de généraliser la formule n (n-3) / 2 à n'importe quel polygone à n côtés.
un polygone à n côtés possède n sommets
le nombre de segments possible avec les n sommets est
S=1+2+3+...+n-1=(1+n-1)(n-1)/2=n(n-1)/2
le nombre de diagonales est
N=n(n-1)/2-n
=(n²-n)/2-(2n)/2
=(n²-3n)/2
=n(n-3)/2