Bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plait a ce exercice. Merci énormément :)

Réponse :

Bonjour

1) a) h(x) = f(x)f(-x)

⇔ h'(x) = f'(x)f(-x) + f(x)f'(-x)

⇔ h'(x) = f'(x)f(-x) + f(x)(-f'(-x))

⇔ h'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x)

⇔ h'(x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x)

⇔ h'(x) = 0

b) h'(x) = 0 , h est donc constante sur R

c) on a h(0) = f(0)f(0) = 1 et h est constante donc h(x) = 1

f(x)f(-x) = 1 donc f ne peut pas s'annuler

2) a) f(x) ne s'annule pas,donc k(x) = g(x)/f(x) est définie et dérivable sur R comme quotient de 2 fonctions dérivables

    b) k'(x) = [g'(x)f(x) - g(x)(f'(x)]/(f(x))²

⇔ k'(x) = [g(x)f(x) - g(x)f(x)]/(f(x))² = 0

   c) k'(x) = 0 donc k est constante sur R

   d) On a donc k(0) = g(0)/f(0) = 1

donc quelque soit x ∈ R , k(x) = 1 ⇔ g(x) = f(x)

Il n'existe donc qu'une et unique fonction f telle que f'(x) = f(x) et f(0) = 1