Bonjour, pourrais-je avoir de l'aide sur cette exercice s'il vous plait ? Merci d'avance.

Réponse :

Partie A

f(x) = 10 x/(x² + 20 x + 100)    définie sur [0 ; + ∞[

1) calculer f '(x) et vérifier que f '(x) = (- 10 x² + 1000)/(x² + 20 x + 100)²

(u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u = 10 x ⇒ u' = 10

v = x² + 20 x + 100 ⇒ v' = 2 x + 20

donc  f '(x) = (u/v)' = [10(x²+20 x + 100) - (2 x + 20)10 x]/(x² + 20 x + 100)²

                 = (10 x² + 200 x + 1000 - 20 x² - 200 x)/(x² + 20 x + 100)²

                 = (- 10 x² + 1000)/(x² + 20 x + 100)²

Donc on a bien  f '(x) =  (- 10 x² + 1000)/(x² + 20 x + 100)²

2) étudier les variations de f sur [0 ; + ∞[

    or (x² + 20 x + 100)² > 0  donc le signe de f '(x) dépend du signe de

- 10 x² + 1000

or  - 10 x² + 1000  ⇔  (10 + x)(10 - x)    on a 10 + x ≥ 0

        x        0                         10                         + ∞

    10 - x                  +             0              -

     f(x)         0 →→→→→→→→→→ 1/4 →→→→→→→→→→ 0

                         croissante            décroissante

Explications étape par étape