prendre une feuille rectangulaire de largeur l et de longueur L. Enrouler la feuille sur sa longueur : on obtient un cylindre. Enrouler la feuille sur sa largeu

Bonjour,

Envisageons le cas où la feuille est enroulée sur sa longueur.
Soit r le rayon du cercle de base.
Alors la longueur de ce cercle est égale à  [tex]2\pi r[/tex]
D'où [tex]2\pi r=L\Longrightarrow r=\dfrac{L}{2\pi}[/tex]

Le volume V1 du cylindre = Aire de la base * hauteur du cylindre
                                   = [tex]=\pi\times(\dfrac{L}{2\pi})^2\times l\\\\=\pi\times\dfrac{L^2}{4\pi^2}\times l\\\\=\dfrac{L^2}{4\pi}\times l\\\\=\dfrac{L^2l}{4\pi}\\\\=L\times\dfrac{Ll}{4\pi}[/tex]

Envisageons le cas où la feuille est enroulée sur sa largueur.
Soit r ' le rayon du cercle de base.
Alors la longueur de ce cercle est égale à  [tex]2\pi r'[/tex]
D'où [tex]2\pi r'=l\Longrightarrow r'=\dfrac{l}{2\pi}[/tex]

Le volume V2 du cylindre = Aire de la base * hauteur du cylindre
                                   = [tex]=\pi\times(\dfrac{l}{2\pi})^2\times L\\\\=\pi\times\dfrac{l^2}{4\pi^2}\times L\\\\=\dfrac{l^2}{4\pi}\times L\\\\=\dfrac{l^2L}{4\pi}\\\\=l\times\dfrac{Ll}{4\pi}[/tex]

Si nous considérons que la largeur l est inférieure à la longueur L, alors 

[tex]l<L\Longrightarrow l\times\dfrac{Ll}{4\pi}<L\times\dfrac{Ll}{4\pi}\\\\l<L\Longrightarrow V_2<V_1[/tex]

Par conséquent, le volume du cylindre où la feuille est enroulée sur sa largueur est inférieur au volume du cylindre où la feuille est enroulée sur sa longueur.