Les droites (AC) et (AD) sont perpendiculaires en A. On a AB=AD et AC=AE Démontrer que (AI) est perpendiculaire à (CD) et (AJ) est perpendiculaire à (BE) Aidez

Comme I est le milieu de BE et que BE est l'hypoténuse du triangle rectangle ABE rectangle en A, I est le milieu du cercle circonscrit à ABE donc IA=IB=IE

Comme J est le milieu de CD et que CD est l'hypoténuse du triangle rectangle ACD rectangle en A, J est le milieu du cercle circonscrit à ACD donc JA=JB=JE

Par ailleurs,
I est le milieu de BE donc IB+IE=0
J est le milieu de CD donc JC+JD=0

AE=AI+IE
AB=AI+IB donc
AE+AB=2AI+IE+IB=2AI donc AI=1/2*(AB+AE)

De même :
AC=AJ+JC
AD=AJ+JD donc
AC+AD=2AJ+JC+JD=2AJ donc AJ=1/2*(AC+AD)

Comme  AC=AE et que AB=AD, on a AI=AJ
Donc IA=IB=IE=JA=JB=JE

Le triangle AIE est isocèle en I donc les angles AEI et EAI sont égaux.
Notons AEI=EAI=α

Le triangle AJC a les mêmes dimensions que AIE et il est isocèle en J donc les angles JAC et JCA sont égaux et valent α
Donc AEI=EAI=JAC=JCA=α

Dans le triangle ADC, on note l'angle ADC=β
Comme ADC est rectangle en A on a :
β+α+90=180 soit β=90-α

Dans le triangle ABE rectangle en A, on a :
ABE+α+90=180 donc ABE=90-α=β

Notons K l'intersection de AI et CD. Dans le triangle AKD, on a :
DAK+AKD+ADK=180
Or DAK=EAI=α donc AKD=180-α-β=180-α-90+α=90°
Donc AK et KD sont perpendiculaires et AI et CD aussi.

Notons L l'intersection de AJ et BE. Dans le triangle ALB, on a :
BAL+ALB+LBA=180
Or BAL=JAC=α donc ALB=180-α-β=180-α-90+α=90°
Donc AL et LB sont perpendiculaires et AJ et BE aussi.