Bonjour j’ai un sujet de bac de maths (termS) à faire. Pouvez vous m’aider ?

Réponse :

Explications étape par étape :

■ enfin du véritable boulot proposé par un élève sérieux ! ☺ ( pas un rigolo de seconde ! )

■ f(x) = x² exp(-2x) donne la dérivée

f ' (x) = 2x exp(-2x) - 2x² exp(-2x) = 2x(1-x) exp(-2x)

dérivée positive pour 0 < x < 1

donc la fonction f est croissante pour 0 < x < 1 .

■ tableau de variation et de valeurs :

x --> -∞ -2 0 0,5 1 4 +∞

varia -> décroiss. |croissante | décroissante

f(x) --> +∞ 218 0 0,092 0,135 0,005 0+

■ 2°) I1 = 0,25 - (1,25/e²) = 0,08083 environ !

■ partie B 1a) :

In correspond à l' Aire comprise entre la courbe

et l' axe des abscisses pour 0 < x < 1

■ 1b) la Suite (In) doit être décroissante puisque f2(x) = f1(x) / (exp(2x))

( comme 0 ≤ x < 1 --> on a 1 ≤ exp(2x) < 7,389 )

■ 2a) fn+1(x) = x² exp(-2(n+1)x) = x² exp(-2nx) exp(-2x) = exp(-2x) * fn(x)

■ 2b) comme 0 ≤ x < 1 --> on a 1 ≤ exp(2x) < 7,389

donc on a bien fn+1(x) ≤ fn(x)

■ 2c) la Suite (In) est donc bien décroissante !

■ 3a) comme 0 ≤ x ≤ 1 --> on a 0 ≤ x² ≤ 1

et exp(-2x) est toujours positif ( ou nul )

donc on a bien 0 ≤ fn(x) ≤ exp(-2x)